Reproducing Polynomials with B-Splines

A B-Spline of order Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle N} is known to be able to reproduce any polynomial up to order Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle N} :

$\sum _{n\in \mathbb {Z} }c_{m,n}\beta _{N}(t-n)=t^{m}$

In words, a proper linear combination of shifted versions of a B-Spline can reproduce any polynomial up to order $N$. This is needed for different applications, for example, for the Sampling at Finite Rate of Innovation (FRI) framework. In this case any kernel $\varphi$ reproducing polynomials (that is, satisfying the Strang-Fix conditions) can be used. However, among all possible kernels, the B-Splines have the smallest possible support.

An important question is how to obtain the coefficients Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle c_{m,n}} for the reproduction-formula. In this small article, I describe one way.